Τα μαθηματικά συχνά αποκαλούνται η απόλυτη γλώσσα της λογικής και της ακρίβειας. Όμως, κρύβουν μέσα τους παράδοξα που ξεπερνούν τη φαντασία και μπορούν να ανατρέψουν όσα θεωρούμε δεδομένα. Ας δούμε τέσσερα από τα πιο εντυπωσιακά μαθηματικά παράδοξα, που ίσως σου αλλάξουν τον τρόπο σκέψης για τον κόσμο!
Περιεχόμενα
Το Παράδοξο του Κουρέα
Ξεκινάμε με ένα από τα πιο κλασικά παράδοξα, το Παράδοξο του Κουρέα, που δημιούργησε ο φιλόσοφος Μπέρτραντ Ράσελ.
Φαντάσου έναν κουρέα σε ένα χωριό που κουρεύει όλους τους άντρες που δεν κουρεύονται μόνοι τους. Το ερώτημα που προκύπτει είναι: ποιος κουρεύει τον ίδιο τον κουρέα;
- Αν κουρεύει τον εαυτό του, τότε σύμφωνα με τον κανόνα, δεν θα έπρεπε να κουρεύεται μόνος του.
- Αν δεν κουρεύεται μόνος του, τότε πάλι, θα πρέπει να κουρευτεί από τον ίδιο.
Φαντάσου έναν κουρέα τόσο μπλεγμένο στους κανόνες του, που δεν ξέρει αν πρέπει να κουρέψει τον εαυτό του ή να… καταλήξει φαλακρός από το μπέρδεμα!
Αυτό το παράδοξο αναδεικνύει πώς οι απλοί, λογικοί κανόνες μπορούν να καταρρεύσουν όταν εφαρμόζονται σε κλειστά συστήματα, όπως το χωριό των κουρεμένων ανδρών. Είναι μια κλασική ανατροπή που δείχνει ότι η λογική δεν είναι πάντα τόσο «απλή» όσο φαίνεται!
Περισσότερα για αυτό το παράδοξο μπορείς να διαβάσεις εδώ.
Το Παράδοξο του Ζήνωνα
Το Παράδοξο του Ζήνωνα είναι από τα αρχαιότερα και πιο εντυπωσιακά παράδοξα που σχετίζονται με την έννοια του απείρου και της κίνησης.
Ο Ζήνωνας παρουσιάζει τον Αχιλλέα, τον γρηγορότερο δρομέα, σε έναν αγώνα με μια χελώνα, που ξεκινά με προβάδισμα. Παρά την ταχύτητα του Αχιλλέα, σύμφωνα με το παράδοξο, δεν θα καταφέρει ποτέ να φτάσει τη χελώνα, διότι εκείνη προχωρά συνεχώς, έστω και λίγο.
Αυτό συμβαίνει επειδή, κάθε φορά που ο Αχιλλέας φτάνει στο σημείο όπου ήταν η χελώνα, εκείνη έχει προχωρήσει λίγο πιο πέρα. Έτσι, αν προσθέσουμε όλα τα σημεία όπου ο Αχιλλέας πλησιάζει τη χελώνα, φαίνεται ότι η απόσταση ποτέ δεν μηδενίζεται. Το παράδοξο αυτό αμφισβητεί την έννοια της κίνησης και εξηγείται με τον απειροστό λογισμό που αναπτύχθηκε αιώνες αργότερα.
Στον πραγματικό κόσμο, φυσικά, ένα γρηγορότερο όχημα θα προσπεράσει ένα πιο αργό λόγω της διαφοράς ταχύτητας, αλλά αυτό που προσπάθησε να δείξει ο Ζήνωνας ήταν πώς η διαίρεση της απόστασης σε άπειρα μικρά κομμάτια φαινομενικά καθιστά την κίνηση «αδύνατη». Πραγματικά mind-blowing!
Δίλημμα του φυλακισμένου
Το Δίλημμα του Φυλακισμένου είναι ένα από τα πιο διάσημα προβλήματα στη θεωρία παιγνίων, που εξετάζει πώς λογικά άτομα ενεργούν σε καταστάσεις όπου η συνεργασία και ο ανταγωνισμός είναι ζωτικής σημασίας.
Σενάριο:
Δύο άτομα συλλαμβάνονται ως ύποπτοι και κρατούνται ξεχωριστά χωρίς καμία επικοινωνία μεταξύ τους. Ο εισαγγελέας τους προτείνει το εξής:
- Αν κάποιος καταθέσει εναντίον του άλλου (και ο άλλος σωπάσει), τότε απελευθερώνεται ενώ ο άλλος θα τιμωρηθεί με 12 χρόνια φυλακή.
- Αν σιωπήσουν και οι δύο, θα λάβουν 1 χρόνο φυλάκιση.
- Αν καρφώσουν και οι δύο ο ένας τον άλλον, θα τιμωρηθούν με 4 χρόνια φυλάκιση ο καθένας.
Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται συγκεντρωμένες όλες οι δυνατές επιλογές.
| Β: Καρφώνει | Β: Σιωπή | |
|---|---|---|
| Α: Καρφώνει | (4 χρόνια, 4 χρόνια) | (0 χρόνια, 12 χρόνια) |
| Α: Σιωπή | (12 χρόνια, 0 χρόνια) | (1 χρόνος, 1 χρόνος) |
Η ερώτηση είναι: Ποιά είναι η ορθολογικά βέλτιστη στάση του καθενός από τους κρατούμενους;
Να σημειώσουμε, ότι ορθολογική στάση είναι η επιλογή του κάθε κρατούμενου να βασίζεται αποκλειστικά στο μέγιστο προσωπικό όφελος του, που στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι τα ελάχιστα χρόνια φυλάκισης, λαμβάνοντας υπόψη ότι και ο άλλος κρατούμενος θα κάνει το ίδιο.
Στρατηγική και Θέση Ισορροπίας
Αν και η αμοιβαία σιωπή θα τους επέφερε τη λιγότερη δυνατή ποινή, υπάρχει πάντα η αβεβαιότητα σχετικά με την επιλογή του άλλου. Αν ο ένας αποφασίσει να σωπάσει και ο άλλος επιλέξει να καταδώσει τον άλλον κρατούμενο, ο μη συνεργαζόμενος θα έχει μεγαλύτερη ζημιά (12 χρόνια φυλάκισης), ενώ ο συνεργαζόμενος θα απελευθερωθεί. Έτσι, οι φυλακισμένοι έχουν την τάση να επιλέγουν τη στρατηγική του καρφώματος για να προστατευτούν από τη μεγαλύτερη ποινή και επομένως να τιμωρηθούν και οι δύο με 4 χρόνια. Έτσι, προκύπτει το παράδοξο ότι παρόλο που οι αποφάσεις και των δύο πάρθηκαν με λογικούς κανόνες για την επίτευξη της ελάχιστης φυλάκισης, τελικά δεν καταλήγουν σε αυτή(1 χρόνος, 1 χρόνος).
Συμπέρασμα
Το πρόβλημα αυτό επιδεικνύει ότι παρόλο που η αμοιβαία σιωπή θα ήταν η καλύτερη επιλογή και για τους δύο, η αβεβαιότητα για την επιλογή του άλλου οδηγεί τους περισσότερους στο να «καρφώσουν». Ένα καθαρό μάθημα για το πώς η λογική μπορεί να οδηγήσει σε… μη συνεργατικές λύσεις!
Το παράδοξο του Monty Hall
Το Παράδοξο του Monty Hall είναι ένα διάσημο πρόβλημα πιθανοτήτων, βασισμένο στο τηλεπαιχνίδι “Let’s Make a Deal” με παρουσιαστή τον Monty Hall.
Σενάριο
Στην αρχή του παιχνιδιού, ο παίκτης έχει τρεις κουρτίνες μπροστά του και καλείται να επιλέξει ποια θέλει να ανοίξει. Μία από αυτές τις κουρτίνες κρύβει ένα αυτοκίνητο (το έπαθλο), ενώ πίσω από τις άλλες δύο υπάρχουν κατσίκες (τα “χαμένα” έπαθλα). Ας πούμε ότι ο παίκτης επιλέγει την κουρτίνα 1. Ο παρουσιαστής, γνωρίζοντας τι υπάρχει πίσω από τις κουρτίνες, ανοίγει μια από τις άλλες δύο, ας πούμε την Κουρτίνα 3, και αποκαλύπτει μια κατσίκα. Ο παίκτης έχει τώρα το εξής δίλλημα: να παραμείνει στην αρχική του επιλογή (Κουρτίνα 1) ή να αλλάξει στην άλλη κλειστή κουρτίνα (Κουρτίνα 2).
Πολλοί άνθρωποι πιστεύουν ότι η πιθανότητα να κερδίσουν το αυτοκίνητο είναι 50-50, εφόσον απομένουν δύο κουρτίνες. Ωστόσο, η σωστή στρατηγική είναι να αλλάξουν την επιλογή τους. Όταν ο παίκτης αλλάζει κουρτίνα, οι πιθανότητες να κερδίσει το αυτοκίνητο αυξάνονται σε 2/3, ενώ οι πιθανότητες παραμένοντας στην αρχική επιλογή είναι μόνο 1/3.
Γιατί Συμβαίνει Αυτό;
Αυτό συμβαίνει επειδή, αρχικά, η πιθανότητα να είναι πίσω από την επιλεγμένη κουρτίνα το αυτοκίνητο είναι 1/3. Οι άλλες δύο κουρτίνες, συνολικά, έχουν πιθανότητα 2/3 να κρύβουν το αυτοκίνητο. Το κλειδί του προβλήματος είναι η γνώση του παρουσιαστή για το ποια κουρτίνα κρύβει το αυτοκίνητο. Έτσι:
- Σενάριο 1: Το αυτοκίνητο είναι πίσω από την Κουρτίνα 1 (η αρχική επιλογή). Αν αλλάξει ο παίκτης, χάνει (1/3 πιθανότητα).
- Σενάριο 2: Το αυτοκίνητο είναι πίσω από την Κουρτίνα 2. Ο παρουσιαστής ανοίγει την Κουρτίνα 3 (κατσίκα), και αν αλλάξει ο παίκτης, κερδίζει (2/3 πιθανότητα).
- Σενάριο 3: Το αυτοκίνητο είναι πίσω από την Κουρτίνα 3. Ο παρουσιαστής ανοίγει την Κουρτίνα 3 και αποκαλύπτει μια κατσίκα. Άρα αυτό το σενάριο έχει πιθανότητα 0!
Σύνοψη
Έτσι, όταν ο παίκτης αποφασίζει να αλλάξει την επιλογή του, κερδίζει σε 2 από 3 σενάρια. Αυτό είναι το γιατί η στρατηγική αλλαγής της πόρτας διπλασιάζει τις πιθανότητες νίκης από 1/3 σε 2/3. Το παράδοξο του Monty Hall μας διδάσκει την αξία της ανάλυσης των πληροφοριών και της λογικής στην λήψη αποφάσεων.
Αν θες μεγαλύτερη ανάλυση αυτού του παραδόξου μπορείς να δεις αυτό το βίντεο!
Επίλογος
Τα παράδοξα αυτά είναι σαν τον φίλο, που πάντα μπερδεύει τα πράγματα με τις έξυπνες ερωτήσεις του – στην αρχή σε κάνουν να αναρωτιέσαι, μετά σε εκνευρίζουν, και στο τέλος… ίσως και να τον συγχωρείς που σε έκανε να τα δεις αλλιώς!
Αν σου άρεσε αυτό το άρθρο, τότε σίγουρα θα βρεις ενδιαφέρον και αυτό!